Válassz tantárgyat!
  • Matematika
  • Magyar nyelv
  • Magyar irodalom
  • Történelem
  • Angol nyelv
  • Német nyelv
  • Fizika
  • Földrajz
  • Kémia
  • Biológia
  • Informatika
  • A gyorsmenü a kidolgozott érettségi tételekre vonatkozik. Az érettségi feladatsorokat a fejlécből érheted el!
    X

    Skip to content

    A kör

    Def.: Azon pontok halmazát a síkban, melyek egy adott ponttól egyenlő távolságra vannak, körnek nevezzük.

    Elnevezések, jelölések: Az adott pontot a kör középpontjának (K, O), az egyenlő távolságot a kör sugarának (r) nevezzük.

    Tétel: A K(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete: (x – u)2 + (y – v)2 = r2

    Bizonyítás:

     

    A kör definíciója alapján a P pont akkor és csak akkor van rajta a körön, ha a PK távolság egyenlő a sugárral. A PK szakasz hosszát fel tudjuk írni a középpont u, v és a P pont x, y koordinátái alapján:.

    Mivel mind a két oldal pozitív, ezért négyzetre emelhetünk:

    (x – u)2 + (y – v)2 = r2.

    A kör bármely pontjának koordinátái igazzá teszik ezt az egyenletet, más pontok koordinátái viszont nem, ezért azt mondjuk, hogy ez a kör egyenlete.

    Megjegyzés: Azt is meg tudjuk mondani, hogy egy pont hogy helyezkedik el a körhöz képest: be kell helyettesíteni a koordinátáit az egyenletbe, és …

    • ha igaz az egyenlet, akkor a pont a körön van,
    • ha (x – u)2 + (y – v)2 > r2 akkor a pont a körön kívül van,
    • ha (x – u)2 + (y – v)2 < r2 akkor a pont a körön belül van.

    A körnek gyakran nem ilyen alakban adják meg az egyenletét.

    Ha elvégezzük a négyzetreemelést akkor a következő egyenletet kapjuk:

    x2 + y2 – 2ux – 2vy + u2 + v2r2 = 0

    Ez egy olyan kétismeretlenes másodfokú egyenlet, amiben az x2 és y2 együtthatója egyenlő, és nem tartalmaz xy-os tagot.

    Ennek alapján felírható az általános, kétismeretlenes, másodfokú egyenlet:

    Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0, ahol.

    Ez az egyenlet akkor és csak akkor kör egyenlete, ha átalakítható

    (x – u)2 + (y – v)2 = r2 alakba, ahol r > 0.

    Az átalakítás:

    Először osztunk a négyzetes tagok együtthatójával:

    Kiegészítjük teljes négyzetté:

    Rendezzük az egyenletet:

    Ez az egyenlet akkor és csak akkor állít elő kört, ha a jobb oldalon levő (r2-nek megfelelő) kifejezés pozitív, tehát B2 + C2 – 4AD > 0.

    Ekkor a kör középpontja: K , sugara: