Válassz tantárgyat!
  • Matematika
  • Magyar nyelv
  • Magyar irodalom
  • Történelem
  • Angol nyelv
  • Német nyelv
  • Fizika
  • Földrajz
  • Kémia
  • Biológia
  • Informatika
  • A gyorsmenü a kidolgozott érettségi tételekre vonatkozik. Az érettségi feladatsorokat a fejlécből érheted el!
    X

    Skip to content

    Parabola

    Def.: A parabola azon pontok halmaza, amelyek egy adott egyenestől és az egyenesre nem illeszkedő adott ponttól egyenlő távolságra vannak az adott pont és az adott egyenes által meghatározott síkban.

    Elnevezések: Az adott egyenest vezéregyenesnek, az adott pontot fókuszpontnak hívjuk. A fókuszpontnak a vezéregyenestől való távolságát a parabola paraméterének nevezzük, a fókuszpontból a vezéregyenesre állított merőleges egyenest a parabola tengelyének hívjuk. Azt a pontot, ahol a parabola metszi a tengelyt tengelypontnak nevezzük és ez felezi a fókuszpont és a vezéregyenes távolságát.

    A parabolának tengelyponti egyenletében a parabola tengelypontja az origó, tengelye pedig valamelyik koordináta tengely. Ez az egyenlet egyértelműen meghatározza a parabola pontjait.

    Tétel: A p paraméterű parabola egyenlete , ha a parabola tengelye az y tengely, fókuszpontja az y tengely pozitív felén van.

    Bizonyítás:

    Vegyük fel a vezéregyenest, aminek egyenlete:

    A fókuszpont koordinátái: F (0; ).

    A parabola egy tetszőleges pontja legyen P (x; y), a parabola definíciója szerint: d(P; F) = d(P; v).

    A parabola pontjainak a távolsága a vezéregyenestől: d(P; v) =

    A parabola pontjainak távolsága a fókuszponttól:

    d(P; F) =

    Tehát:

    Mindkét oldal pozitív, ezért nyugodtan négyzetre emelhetünk, a zárójelek felbontása után ezt kapjuk:

    Rendezve: x2 = 2py, innen 2p-vel való osztással kapjuk a tételben szereplő egyenletet.

    Az is elképzelhető hogy nem így áll a parabolánk:

    Ha a parabola tengelye az y tengely, de fókuszpontja az y tengely negatív felén van, akkor a parabola egyenlete:

    Ha a parabola tengelye az x tengely, fókuszpontja az x tengely pozitív felén van, akkor a parabola egyenlete:

    Ha a parabola tengelye az x tengely, fókuszpontja az x tengely negatív felén van, akkor a parabola egyenlete:

    Ha a parabola tengelye párhuzamos az y tengellyel tengelyű, felfelé nyitott és tengelypontja a T (u; v) pont, akkor a parabola egyenlete:

    Tétel: Minden y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolának egyértelműen megfeleltethető egy másodfokú függvény, amelynek ez a parabola a grafikonja, és minden másodfokú függvény grafikonja egy y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola.