Válassz tantárgyat!
  • Matematika
  • Magyar nyelv
  • Magyar irodalom
  • Történelem
  • Angol nyelv
  • Német nyelv
  • Fizika
  • Földrajz
  • Kémia
  • Biológia
  • Informatika
  • A gyorsmenü a kidolgozott érettségi tételekre vonatkozik. Az érettségi feladatsorokat a fejlécből érheted el!
    X

    Skip to content

    Számhalmazok, halmazok számossága

    Számhalmazok

    A 0, 1, 2, 3… számokat természetes számoknak nevezzük. Jele: N

    Ha természetes számokkal összeadást, szorzást, végzünk, akkor az eredményünk is természetes szám lesz.

    A …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… számokat egész számoknak nevezzük. Jele: Z

    Ha egész számokkal összeadást, kivonást (összevonást) és szorzást végzünk, akkor az eredményünk is egész szám.

    Azokat a számokat, amelyek a/b alakúak, ha a és b egész számok (b≠0), racionális számoknak nevezzük. (Latin szó, jelentése: arány). Jele: Q

    A racionális számokat tizedes-tört formában is felírhatjuk, ami lehet véges, vagy szakaszos végtelen tizedes-tört, azaz periodikus tizedes-tört.

    Tétel: Minden racionális szám periodikus tizedes-tört alakban is felírható.

    Bizonyítás: Ha az a/b törtnél az osztás folyamán mindig lesz maradék, akkor a b-vel való osztásnál a maradék az 1,2, 3… b-1 számok valamelyike, tehát a maradék legfeljebb (b-1)-féle lehet. Ezért előbb-utóbb ismétlődő maradékhoz jutunk és onnan kezdve az osztási eljárás folytán periodikus ismétlődés lesz. Emiatt a hányados számjegyeiben is periodikus ismétlődés mutatkozik. Ha olyan az osztás, hogy egyszer nem lesz maradék, azt úgy is tekinthetjük, hogy a maradék 0, és ezért a hányadosban periodikusan ismétlődik a 0. Az állítás fordítva is igaz: bármely periodikus tizedes-tört felírható két egész szám hányadosaként.

    A nem periodikus végtelen tizedes-törteket irracionális számoknak nevezzük. Jele: Q*

    A végtelen tizedes-törtekkel megadható számokat valós számoknak nevezzük. Jele: R

    A számhalmazok ábrázolása Venn-diagrammal történik.

    Fogalmak, állítások

    Két valós számunk van, a és b. Közülük a<b, ha van olyan d pozitív szám, hogy fennáll a b= a+d. Ezt a rendezés definíciójának nevezzük.

    A valós számok abszolútértékének definíciója:

    |a|= a, ha 0<=a

    -a, ha a<0.

    A valós számok összeadása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív tulajdonság: a+b = b+a: két tag összeadásánál a két tagot felcserélhetjük, az összeg nem változik. Az asszociatív tulajdonság: (a+b)+c = a+(b+c): több tag összeadásánál a tagokat tetszés szerint csoportosíthatjuk.

    A valós számok szorzása kommutatív és asszociatív tulajdonságú. A kommutatív tulajdonság: ab =ba: két tényező összeszorzásánál a két tényezőt felcserélhetjük, a szorzat nem változik. Az asszociatív tulajdonság: (ab)c = a(bc): több tényező szorzásánál a tényezőket tetszés szerint csoportosíthatjuk.

    A valós számok szorzása az összeadásra nézve disztributív tulajdonságú: (a+b)c =ac+bc: ha a valós számok összegét szorozzuk egy valós számmal, akkor ugyanazt kapjuk, mintha az összeg tagjait külön-külön szorozzuk a szorzóval, és a kapott szorzatokat összeadjuk.